高中数学函数的性质（高中数学从本质角度理解函数的性质）

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函数的性质本质上指当自变量满足某些关系时，函数值是否随之满足某些关系．具有某种性质的函数，会同时反应在函数的解析式与函数的图象上，借助于性质的本质，解析式满足的关系与图象满足的特征之间可以很好地对应起来．

以偶函数为例，若函数 是偶函数，那么它的解析式满足方程

，它的图象关于 轴对称．从偶函数本质上理解：当两个自变量的和为 时，对应的函数值相等，这两个点也恰好关于 轴对称，如图：

如果一个函数 满足对定义域内任意一个

，都有

那么函数 具有什么性质，图象具有什么特点呢？

从形式上看，这与偶函数的定义不一样，但从本质上来看，仍然满足当自变量的和为 时，函数值相等，所以 仍然为偶函数．

事实上，令

，则我们得到

.

从这个角度出发，我们可以推导，如果函数 的图象关于直线 对称， 的解析式满足的方程．

推导图象关于 对称，意味着自变量的和为 时，函数值相等，所以有

如果你愿意，也可以写成

甚至

因为这些方程都可以导出当自变量的和为 时，函数值相等．

解析式满足的关系式可以从形式上千变万化，但从本质上始终保持一致．抓住性质的本质就可以以不变应万变．

根据上面的思路，由奇函数的定义

，很容易得到奇函数的本质：当自变量的和为 时，函数值的和也为 ．由此可以推导与中心对称相关的性质．比如：

若函数 满足：

，那么 关于

中心对称，因为当自变量的和为 时，函数值的和为 ．

若函数 的图象关于点

中心对称，则有

下面看一个用性质的本质去推导的例子：

求证如果一个函数有双对称轴，那么它一定是周期函数．

不妨以特殊的函数为例进行证明，若函数 的图象关于

与 对称，证明 是周期函数，并求出它的一个周期．

证由 的图象关于 对称知，当自变量和为 时，函数值相等，即

同理有

于是我们得到

这说明当自变量相差 时，函数值相等，这是周期性的本质，故 是周期函数， 是它的一个周期．

最后我们给出一道练习（2009年高考数学全国I卷理科第11题）

函数 的定义域为

，若

与

都是奇函数，则

A． 是偶函数

B． 是奇函数

C．

D．

是奇函数

答案 D

提示：令

，由

知

，即

同理有

从而有

得到 是周期为 的函数，从而

为奇函数．

注除了从性质的本质角度出发外，利用图象的变换也是一个可以尝试的角度，但有一定的局限性．比如，若 的图象关于 对称知，我们推导 满足的方程．将 的图象向左平移两个单位后，得到的函数的图象关于 轴对称，即

是一个偶函数．记

，有

，从而

由 数海拾贝 供稿。

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