希尔伯特曲线（意大利数学家皮亚诺发现的连续不可导曲线）
希尔伯特曲线是一条填满整个平面的神奇曲线,其构造方式是把前一阶的曲线复制四份,将左下角和右下角的曲线做一个沿对角线的翻转,然后增加三条线段把这四份连起来.这些曲线的极限就是希尔伯特曲线.
中文名希尔伯特曲线
Hilbert Curve
希尔伯特
2维
1891年
数学
皮亚诺
皮亚诺曲线
十进制数和罗素悖论
关于康托的集合论，罗素于1901年提出了一个悖论，指出一个包含自己的集合将导致逻辑上的混乱。分析发现，在康托对实数的定义中也包含了罗素悖论。康托对实数的定义是：
“1872年，康托在一篇文章中，用一章的篇幅专门讨论实数问题，特别是无理数问题。他为自己提出了一个目标，在不预先假定无理数存在的条件下，建立一个令人满意的无理数理论。显然，全体的有理数集合为此提供了一个基础。康托用有理数的无穷序列来定义无理数及它们之间的顺序关系。
希尔伯特曲线和实数的不可数性
1877年，康托给出了从一维到二维的一一映射。皮亚诺和希尔伯特分别于1890年和1891年给出了一种可以充满整个平面的曲线。
希尔伯特曲线由一个大正方形分成9个小正方形，再不断的把每个小正方形分成更小的正方形得到的边组成的曲线。这实际上是一个递归过程。也可认为希尔伯特曲线是在上面基础上把小正方形的中心点连接起来得到的曲线。这两种表示方法在本节的讨论中并没有区别，在下面的过中位线作截线的过程中可以发现，这两种曲线与截线的交点是一一对应的。
希尔伯特曲线的编码映射
能不能仿照康托从有理数集出发去定义无理数集的例子，借助希尔伯特曲线来建立一种从曲线到平面的一一映射呢？希尔伯特曲线中的编码映射就是这样的一个例子。
希尔伯特曲线通过把一个正方形不断大的分成4个小正方形，再把小正方形的中心点连接起来得到的曲线，即希尔伯特曲线。
在希尔伯特曲线的编码映射中，对分成的4个小正方形按顺时针顺序进行二进制编码，为0.00，0.01，0.10，0.11。后面的分裂同样在前面编码的基础上加上2位二进制小数，如第一格第二次分裂后，得到的4个小正方形编码为0.0000，0.0001，0.0010，0.0011。这样就给正方形中的每个点一个[0,1]中的编码，也就是完成了从1×1的平面到[0,1]区间的一一映射。
总结
这种观点指出，在康托用有理数的基本序列去定义实数中，实数域中的一个有理数a按定义等于序列，这实际上构造了一个包含自指的集合：数a等于一个集合，这个集合中有一个元素，就是数a本身。这样的集合包含了罗素悖论。本文还分析了皮亚诺曲线等一维到二维映射的例子，指出它们实际上也包含了上述悖论。
参考资料
1.希尔伯特曲线及性质的形式化理解·Hello, Universe!
